Julio

Extracción con remplazo

   --También llamado extracción por sustitución, en este tipo de extracción la probabilidad es constante y el numero de resultados posibles y totales no cambia.

Extracción sin remplazo

   --También llamado extracción sin sustitución, en este tipo de extracción la probabilidad varia y el numero de resultados posibles y totales cambia.

EVENTOS INDEPENDIENTES
  -- se dice que A y B son eventos independientes si se cumple.

   

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES E INDEPENDIENTES

Ejercicio eventos independientes diagrama de arbol






Rendimos la segunda prueba del primer bimestre, cuya corrección e imágenes se encuentran en la entrada de evidencias
CORRECCIÓN SEGUNDA PRUEBA




VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS:

Definición
             Sea    X: variable aleatoria
                       S: espacio muestral
                        e: evento de S
                        x: valores que puede tomar X
                       IR: conjunto de los números reales

             entonces:
                                   X: S ---->  IR
                                         e ----> x
            es la correspondencia que establece la variable aleatoria X
                                          Dom(X) = S
                                            Rx subconjunto IR


ejercicios de monedas

Distribución de probabilidad:

Definición
             Sea    X: variable aleatoria discreta (v.a.d)
                     entonces: P(X=x) representa la probabilidad de que v.a.d X tome el valor x.


             Sea    X: v.a.d
                      f(X) = P(X=x)
                     entonces:
                              f: X ---> IR                             donde: dom f = X                 
                                   x ---> f(x) = P(X=x)                        Rf subconjunto [0,1]
                                  FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O
                                   LEY DE PROBABILIDAD
Propiedades de f(x)

    1. Para todo f(x) >= 0
    2.Sumatoria desde x de f(x) = 1
GRÁFICO:

Ejercicio de practica
                      






Distribución de probabilidad acumulativa:


Definición
             Sea    X: v.a.d
                        f: distribucion de probabilidad
                        F: distribucion de probabilidad acumulada

                     entonces:
                                F(x) =  P(X=x) =  sumatoria desde x de f(t).
                                 dom F = IR ; Rf subconjunto [0,1]

Esperanza y varianza de una v.a.d:

Esperanza:

Definición
             Sea    X: v.a.d
                        f(x): distribucion de probabilidad de x
                    μ = E(x): Media o valores esperados de x o esperanza

                     entonces:
                                μ = E(x)  =  sumatoria desde x de f(x).
Propiedades:
     1. E(c) = c                  c: constante
     2.E(cx) = cE(x)
     3.si y = ax + b ;    a,b: constante; x,y v.a.d
                     entonces: E(y) = E(ax + b)
                                    E(y) = E(ax) + E(b)
                                    E(y) = aE(x) + E(b)
      4. E = (x + y) = E(x) +E(y)



  Varienza:

Definición
             Sea    X: v.a.d
                        f(x): distribucion de probabilidad de x
                   μx  = E(x): Media o valores esperados de x

                     entonces:
                                σ²x  = V(x)  = E(x - μx )² = Σ(x - μx)² f(x).
                                              V(x) = E(x²) -  μx ² = E(x²) - (E(x))²

Propiedades:
     1. V(c) = 0                 c: constante
     2.V(cx) = c²V(x)
     3.V(x + y) = V(x) + V(y) ; x,y v.a.d

 Desviacion estandar de x:            

                  
  

Ejercicio

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS:

Definición
  -La variable cuyo recorrido es un intervalo finito o infinito de IR se llama variable aleatoria continua(v.a.c) si:
                        P( X = x ) = 0

Definición
         Sea: 
                       x: v.a.c
                       la funcion real F, tal que: para todo t elemento de los reales, F(t) = P( x<= t)


Propiedades:
     1. F es creciente
                   lim        F(x) = 0                      lim       F(x) = 1
                  x --> -∞                                x --> ∞                                       
                                                                                                                     b
   2. P( a <= x <= b) = P( a < x < b) = P( a <= x < b) = P( a < x <= b) = ∫ f(x)dx = f(b) - f(a)
                                                                                                                                       a


  Función de densidad:
La función de densidad de una v.a.c x es una función real f, tal que:  

                                                          ∞
          i) f(x) >= 0                    ii)     ∫ f(x) dx = 1
                                                        -∞           
          
         iii) Para cualquier intervalo A = [a,b] se tiene
                                                                b
                    P(A) = P( a <= x <= b) =  ∫  f(x)dx   
                                                             a              
                                     x
                       F(x) =  ∫ f(t)dt        y          f(x) = F'(x)
                                 -∞
     

         
                          Sea:
                                   x: v.a.c
                               f(x): funcion de densidad de probabilidad de x

                         entonces:
                                                  +∞
                              μ = E(x)  = ∫ xf(x)dx
                                    -∞
                                                                                                      +∞
                                        σ² = V(x) = E(x - μx )² =  ∫ (x - μx )²dx
                                                                               -∞    
                                                   V(x) = E(x²) - (E(x ))²

                      desviación estándar

             --- Se cumplen las propiedades de media y varianza para v.a.d

A partir de este día se empezaron  con las exposiciones y el primer tema fue el proceso de 

Bernoulli:

Si a un intento de un fenómeno aleatoria se le puede asignar una y solo una de dos únicas alternativas: Éxito E o fracaso F, se dice que el intento es un Proceso Bernoulli.

Si la probabilidad de éxito es p, la de fracaso es q = 1 - p
Si X es la variable: "Numero de éxitos en el proceso Bernoulli", entonces X = {0;1}

Propiedades:

Ejercicio

Distribución Binomial:

Si n intentos de un fenómeno aleatorio son procesos Bernoulli, independientes, con probabilidad de éxito constante e igual a p para los n intentos y la variable aleatoria X es: "Numero de éxitos en los n", se dice que la variable aleatoria X tiene distribución Binomial. se simboliza

Propiedades:

Ejercicio

Como un pequeño entremés tenemos un ejercicio que nos muestra como se utiliza una tabla de distribución binomial puntual.

Distribución de Poisson:

Ejercicios
Distribución de Poisson con respecto al tiempo

Distribución Geométrica:

Gráfica generalizada de la distribución geométrica

Ejercicio

Distribución Binomial negativa:

                           

                                                   

Distribución Uniforme discreta:

Es una distribución de probabilidad en donde la variable aleatoria puede tomar un número finito de valores con la misma probabilidad de ocurrencia.
            
                                   P(x = k) = 1/n         k = 1,2,3,...,n

El experimento consta de un número n de pruebas.
Propiedades: 

Ejercicio1

Ejercicio2

Distribución Hipergeométrica:    
             
Esútilenaquelloscasosenlosqueseextraiganmuestrasoserealicenexperienciasrepetidassindevolucióndelelementoextraídoosinretornaralaituaciónexperimentalinicial.

Notación: 
           
               X ~ H (N,n,r)

Esperanza y Varianza:

Ejercicio1
Ejercicio2

Distribución Uniforme Continua:

La variable aleatoria puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad.
Esta distribución tiene aplicación en problemas de simulación estadística y fenómenos que presentan regularidad en su aparecimiento.

Notación:
      
                        X ~ U(a,b)

Esperanza y Varianza:

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Es la distribución más importante en estadística. Tanto porque multitud de variables aleatorias continuas siguen esta distribución, como por sus propiedades que han permitido el desarrollo de numerosas técnicas de inferencia estadística.

                                                       X ~ N (μ,σ2)

             μ : Media
             σ: Desviación Estándar

Esperanza y Varianza:

La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la distribución. La media, mediana y moda son iguales y se localizan en el pico. La curva es simétrica alrededor de su media y es asintótica en el eje x. Tiene amplia aplicación en física, economía, ingeniería y biología.

                                     

                                       Si μ =0 y σ2 =1 Distribución Normal Estándar

TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

VALORES REFERENCIALES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

DEFINICIÓN:

Se denomina una distribución exponencial a una distribución continua que algunas veces se utiliza para modelar el tiempo que transcurre antes de que ocurra un evento (tiempo de espera); en otras palabras es un proceso de Poisson donde se repiten sucesivamente un experimento a intervalos de tiempos iguales.

   --Algunas veces esta distribución se utiliza para modelar el tiempo de vida de un   componente.

   -- Para esta distribución trabajamos con variables aleatorias continuas(casi siempre toma un valor de  X).

   --Existe una relación cercana  entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson.

Como toda distribución, esta también tiene una función de densidad de probabilidad y una distribución acumulativa donde,

          λ: parámetro o constante positiva real, cuyo valor determina la localización y

                forma de la función.

           x: variable de distribución continua

        f(x): función de densidad de probabilidad exponencial

       F(x): función de distribución exponencial acumulativa

NOTACIÓN:  X ~ Exp (λ)

PROPIEDADES:

• Una propiedad fundamental de la distribución exponencial es que no tiene memoria, esto quiere decir al poseer información de que el elemento que consideramos ha sobrevivido un tiempo S (hasta el momento) no modifica la probabilidad de que sobreviva t unidades de tiempo más.  Un ejemplo podría ser el tiempo que tarda una partícula en desintegrarse, esta propiedad indica claramente que la probabilidad  de que un elemento falle en una hora(o un dia o un segundo), no depende del tiempo que lleve en funcionamiento, no existe envejecimiento , ni la posibilidad de que se aumente la probabilidad de fracaso al principio del funcionamiento.

• Procesos independientes(eventos que siguen un proceso de Poisson).
• si x1,....,xn es una muestra aleatoria de Exp(λ)n, entonces el parámetro λ se estima con

• 
  
  La incertidumbre   se estima con

• El estimador de la incertidumbre es razonablemente bueno cuando el tamaño muestral es mayor a 20.

ESPERANZA Y VARIANZA:

                         E(x) =   1/ λ         ,       V(x) =   1/ λ²       = σ²(x)

RELACIÓN ENTRE EL PROCESO DE POISSON Y LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

Sea X la variable que cuenta el número de eventos que ocurren en el tiempo [0,t], con media  λt; entonces,

                               P(X = x) =

Sea T el tiempo que transcurre hasta que sucede el primer evento de Poisson. El rango de T es el intervalo [0,∞[ y su función de distribución es

donde el evento(T > t)indica que el primer evento de Poisson ocurre después de t, en otras palabras no ocurre ningún evento en el intervalo [0,t]; es decir,

                                                 (T > t) = (X = 0) = P(X = 0).

También, se tiene que

                                         ƒ(t) = F´(t) =                     , t > 0.

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL

Nexo de comunicación entre la teoría de la probabilidad y la estadística.

X1,X2,…..Xn

μ : Media
σ2 : Varianza

Se forma la variable suma: Y=X1+X2+…..+Xn

E(Y)= n μ
Var(Y)= n σ2

La variable aleatoria tiende a una distribución normal, cuando n tiende al infinito

Si n es suficientemente grande (n≥25)